Inferencia Estadística

Diseño Experimental

Edimer David Jaramillo

2024-10-17

Inferencia

Inferencia

  • Métodos de inferencia estadística:
    • Clásico
    • Bayesiano
  • Inferencia:
    • Estimación
      • Puntual
      • Intervalos
    • Pruebas de hipótesis
  • Parámetro: medida numérica que se obtiene con todos los datos de la población. Los parámetros generalmente son desconocidos.
  • Estadístico: medida numérica que se obtiene de las muestras con determinado nivel de variación entre muestras.
  • Inferencia estadística: proceso mediante el cual se generalizan conclusiones a la población, cuyo punto de partida son las muestras. Objetivos de la inferencia estadística:
    • Estimación de parámetros
      • Estimación puntual
      • Intervalos de confianza
    • Pruebas de hipótesis o test de significancia estadística
  • Un estadístico muestral, proveniente de una muestra aleatoria, tiene un patrón de comportamiento (predecible) en repetidas muestras, dicho patrón se conoce como la distribución muestral del estadístico.
  • Si se conoce la distribución muestral, es posible hacer inferencia estadística.

Estimación de parámetros

Tipos de estimación

  • Nivel \(\alpha\) de uso frecuente:
    • 0.10
    • 0.05
    • 0.01
  • Nivel de confianza de uso frecuente:
    • 0.90
    • 0.95
    • 0.99
  • \(NC + \alpha = 1\)

Intervalos de confianza

Ejemplo con un \(NC = 97\%(0.97)\) y \(\alpha = 3\%(0.03)\)

  • Para una muestra:
    • \(\mu\)
    • \(p\)
    • \(\sigma^2\)
  • Asociación de variables:
    • \(\rho\)
    • \(\beta\)
  • Para dos muestras:
    • \(\mu_1 - \mu_2\)
    • \(\mu_1 - \mu_2\ (pareadas)\)
    • \(p_1-p_2\)
    • \(\sigma^2_1/\sigma^2_2\)

Pruebas de Hipótesis

Pruebas de hipótesis

  • Para una muestra:
    • \(\mu\)
    • \(p\)
    • \(\sigma^2\)
  • Asociación de variables:
    • \(\rho\)
    • \(\beta\)
  • Para dos muestras:
    • \(\mu_1 - \mu_2\)
    • \(\mu_1 - \mu_2\ (pareadas)\)
    • \(p_1-p_2\)
    • \(\sigma^2_1/\sigma^2_2\)
  • Definir la hipótesis nula y la alternativa
  • Tomar la muestra (muestreo)
  • Calcular el estadístico (evidencias)
  • Determinar el nivel \(\alpha\)
  • Calcular el valor P
  • Concluir (toma de decisiones)

Tipos de errores

  • \(\alpha\): máxima probabilidad de cometer el error tipo I
  • Potencia de la prueba \((1- \beta)\): probabilidad de rechazar una hipótesis nula que es falsa.

Valor p

  • Se puede definir como la probabilidad exacta de cometer el error tipo I.
  • Probabilidad de obtener un estadístico de prueba (evidencias) igual al que se obtuvo o más extremo.
  • Es la probabilidad calculada, suponiendo que la hipótesis nula es verdadera, de obtener un estadístico de prueba tan discrepante a \(H_0\) como el valor que en realidad se obtuvo.
  • En la medida que el valor P se hace más pequeño, más contradictorios son los datos con \(H_0\)

Conclusión en pruebas de hipótesis

  • Contraste de hipótesis:
    • Intervalos de confianza
    • Región de rechazo
    • Valor P

Métodos estadísticos

Tipo de análisis Método Paramétrico Método no Paramétrico
Correlación Pearson Spearman o Kendall
Comparar medias (2 grupos) t-Student Wilcoxon

Normalidad

Variación del muestreo: Bootstrapping

Inferencia sobre una población

Prueba de hipótesis para \(\mu\)

  1. Comprobar que la variable aleatoria se distribuye de forma normal.
  2. Definir la hipóteis nula y alternativa: \[H_0: nula\] \[H_1: alternativa\]
  3. Calcular el estadístico \[t = \frac{\bar{X}- \mu_0}{s/\sqrt{n}}\]
  4. Definir el error tipo I \(\alpha\)
  5. Calcular el valor P en una distribución \(t-student\) con \(n-1\) grados de libertad
  6. Comparar el valor P con \(\alpha\) y concluir.

Intervalos de confianza para \(\mu\)

Si \(\bar{x}\) es la media de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una población normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(\mu\) está dado por la siguiente expresión:

  • Nivel de confianza (NC) y \(\alpha\): \(Z_{\alpha/2}\):
    • \(NC = 90\%,\ y\ \alpha = 0.10: Z_{\alpha/2} = 1.645\)
    • \(NC = 95\%,\ y\ \alpha = 0.05: Z_{\alpha/2} = 1.960\)
    • \(NC = 99\%,\ y\ \alpha = 0.01: Z_{\alpha/2} = 2.576\)

Si \(\bar{x}\) es la media de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de una población normal con varianza \(\sigma^2\) desconocida, un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(\mu\) está dado por la siguiente expresión:

Inferencia sobre \(p\)

Prueba de hipótesis para \(p\)

  1. Definir la hipótesis nula y alternativa \[H_0: nula\] \[H_1: alternativa\]
  2. Calcular el estadístico \[Z_0 = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}\]
  3. Definir el error tipo I \(\alpha\)
  4. Calcular el valor P en una distribución normal estándar
  5. Comparar el valor P con \(\alpha\) y concluir.

Intervalo de confianza para \(p\)

Si \(\hat{p}\) es la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño \(n\), un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(p\) está dado por la siguiente expresión:

\[\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} < p < \hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

Inferencia sobre \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\)

Prueba de hipótesis para \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\)

Previamente:

  • Comprobar normalidad

Luego:

  • Definir la hipótesis nula y alternativa
  • Calcular el estadístico

\[F = \frac{S_1^2}{S_2^2}\]

  • Definir el error tipo I \(\alpha\)
  • Calcular el valor P
  • Comparar el valor P con \(\alpha\) y concluir

Intervalo de confianza para \(\sigma^2_1/\sigma^2_2\)

Si \(S^2_1\) y \(S^2_2\) son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) de poblaciones normales, un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(\sigma^2_1/\sigma^2_2\) está dado por la siguiente expresión:

Inferencia sobre \(\mu_1 - \mu_2\)

\(\mu_1 - \mu_2\), \(\sigma\) desconocidas e iguales

  • Comprobar la normalidad.
  • Definir la hipótesis nula y alternativa.
  • Calcular el estadístico \[t = \frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}-\delta_0}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\]

Donde: \[S_p = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\]

  • Definir el error tipo I \(\alpha\)
  • Calcular el valor P en una distribución \(t-student\) con \(n_1+n_2-2\) grados de libertad
  • Comparar el valor P con \(\alpha\) y concluir.

\(\mu_1 - \mu_2\), \(\sigma\) desconocidas y diferentes

  • Comprobar la normalidad y la homocedasticidad (igualdad de varianzas)s.
  • Definir la hipótesis nula y alternativa.
  • Calcular el estadístico \[t = \frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}-\delta_0}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}\]

Donde \(t \sim t_v\), con grados de libertad \(v\):

  • Definir el error tipo I \(\alpha\)
  • Calcular el valor P y concluir

Intervalos de confianza para \(\mu_1 - \mu_2\)

Varianzas conocidas

Si \(\bar{X_1}\) y \(\bar{X_2}\) son las medias muestrales de dos muestras aleatorias independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) de poblaciones normales con varianzas conocidas \(\sigma^2_1\) y \(\sigma^2_2\), respectivamente, un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(\mu_1-\mu_2\) está dado por la siguiente expresión:

V. Desconocidas e iguales

Si \(\bar{X_1}\) y \(\bar{X_2}\) son las medias muestrales de dos muestras aleatorias independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) de poblaciones normales con varianzas desconocidas e iguales, un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(\mu_1-\mu_2\) está dado por la siguiente expresión:

Donde \(v = n_1 + n_2 - 2\) y \(S_p\):

\[S_p = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}\]

. Desconocidas y diferentes

Si \(\bar{X_1}\) y \(\bar{X_2}\) son las medias muestrales de dos muestras aleatorias independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\) de poblaciones normales con varianzas diferentes y desconocidas, un intervalo de confianza del \((1-\alpha)100\%\) para \(\mu_1-\mu_2\) está dado por la siguiente expresión:

Donde \(v\):

Inferencia sobre \(\hat{p_1}-\hat{p_2}\)

Prueba de hipótesis para \(\hat{p_1}-\hat{p_2}\)

  1. Definir la hipóteis nula y alternativa
  2. Calcular el estadístico \[z = \frac{\hat{p_1}-\hat{p_2}}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\]
  3. Definir el error tipo I \(\alpha\)
  4. Calcular el valor P en una distribución normal estándar (\(z\))
  5. Comparar el valor P con \(\alpha\) y concluir.

Intervalo de confianza para \(\hat{p_1}-\hat{p_2}\)

Si \(\hat{p_1}\) y \(\hat{p_2}\) son las proporciones de éxito de dos muestras aleatorias independientes de tamaño \(n_1\) y \(n_2\), entonces un intervalo del \((1-\alpha)100\%\) para \(\hat{p_1}-\hat{p_2}\) está dado por la siguiente expresión:

¡Gracias!